Введення поняття тригонометричних функцій числового аргументу

Сторінка 4

Рис. 2.5.

2.3 Вивчення властивостей тригонометричних функцій

Перш ніж вивчати властивості тригонометричних функцій, попередньо потрібно довести їхню періодичність і, послуговуючись означенням та цією властивістю, побудувати графіки. Графіки дають змогу виявити інші властивості, а потім обгрунтувати їх аналітично.

Використовуючи означення синуса і косинуса числового аргументу та враховуючи їх геометричну інтерпретацію на одиничному колі, матимемо , , де , тобто періодом синуса і косинуса є числа . Застосовуючи лінії тангенсів і котангенсів, неважко зробити висновок, що , , тобто періодом тангенса і котангенса є числа .

Доведемо методом від супротивного, що найменшим додатним періодом синуса і косинуса є число .

Припустимо, що існує додатне число таке, що . Тоді при маємо . Однак синус може дорівнювати 1 лише в т., яка відповідає на одиничному колі числам , . Отже, , звідки . За припущенням, , тобто . Поділивши всі три частини останньої нерівності на , дістанемо , що суперечить умові, оскільки , а між 0 і 1 немає жодного цілого числа. Отже, припущення неправильне, а справедливе те, що – найменший додатний період функції .

Аналогічно, взявши рівність , де х=0, можна довести, що найменшим додатним періодом для функції є число .

Доведемо, що число є найменшим додатним періодом функції . Припустимо, що існує додатне число таке, що . Тоді за матимемо . Однак тангенс дорівнює 0 лише в двох точках і одиничного кола, які відповідають числам , де . Тому . За припущенням, , тобто . Поділивши всі три частини останньої нерівності на , дістанемо 0<п<1, що суперечить умові. Отже, припущення неправильне, а справедливе те, що — найменший додатний період функції .

Страницы: 1 2 3 4 5 6

Нове про педагогіку:

Вчені ступені в Німеччині
Академічні ступені, що присвоюються німецькими університетами, відрізняються від прийнятих в англомовних країнах. У Німеччині прийнято видавати диплом про вищу освіту. Його одержують випускники більш ...

Сутність та роль педагогічної техніки викладача у навчальному процесі
Для успішного навчання та виховання студентів викладачу недостатньо знань та вмінь. У XVII ст. видатний чеський педагог Я.А. Коменськии зазначав, що викладачь має володіти мовою і собою, застосовуват ...

Навігація по сайту

Copyright © 2018 - All Rights Reserved - www.ipedahohika.com