Роль логічних доведень геометричних тверджень

Сторінка 3

3. Означеннях прямокутника, трикутника, паралелограма й трапеції

Приведемо означення прямокутника, трикутника, паралелограма й трапеції.

Означення. Параллелограм це чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні й паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.

Означення.Прямокутник це параллелограм, у якого всі кути прямі.

Означення.Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони називаються основагиями трапеції. Дві інші сторони називаються бічними сторонами.

Означення.Трикутником називається фігура . яка складається із трьох крапок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків , попарно з'єднуючі ці точки. Точки називаються вершинами трикутника , а відрізки сторонами.

4. Про площу прямокутника

Теорема. Площа прямокутника зі сторонами дорівнює

На підставі вищевикладених аксіом і теорем, доведемо теореми про площі елементарних багатокутників методом рівновеликих і рівноскладених елементів багатокутників.

а) Площа паралелограма

Теорема. Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту.

Довести: SABCD=AD x BH

Доведення

1. Перекроїмо паралелограм у прямокутник. Для цього розріжемо його по висоті BH , і трикутник ABH прикладемо праворуч як показано на рис.3.3. Одержимо прямокутник HBCH1 , рівноскладений з паралелограмом ABCD. Але рівноскладені фігури є рівновеликими, тобто SHBCH1=SABCD .

2. SHBCH1=BC x BH. Але BC=AD по властивості паралелограма.

Тоді SABCD=AD x BH. Теорема доведена.

Рис.3.3 Дано: ABCDПаралелограм, ADпідстава, BHВисота

б) Площа трикутника

Теорема. Площа трикутника дорівнює половині добутку основи на висоту.

Рис.3.4. Дано: ABCТрикутник, AC основа, BH висота

Довести: SABC = ? AC x BH

Доведення

Перекроїмо трикутник у паралелограм. Для цього проведемо середню лінію MN і розріжемо трикутник ABC на дві частини. Трикутник MNC прикладемо до відрізка BM як показано на рис.3.4. Одержимо паралелограм ABDN, рівноскладений із трикутника ABC, а отже й рівновеликий. Тоді SABDN=SABC

SABDH=AN x BH. Але AH=1/2 AC

тому що NСередина AC.

Отже SABC=1/2 AC x BH. Теорема доведена.

в) Площа трапеції

Теорема. Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту.

Рис.3.5 Дано: ABCDТрапеція, AD і BC основи, BHВисота

Довести: SABCD=1/2 (AD + BC) x BH

Доведення

Перекроїмо трапецію в трикутник. Для цього розріжемо її по відрізку BM, де M середина сторони CD.Трикутник BCM прикладемо до відрізка MD як показано на рис.3.5. Одержимо трикутник ABN рівноскладений із трапецією ABCD, а отже й рівновеликий , тобто SABN=SABCD

SABN=1/2 AN x BH, (3.1)

Але AN =AD + DN, а DN = BC.

Звідки AN=AD + BC.

Підставимо в (3.1), одержимо SABCD=1/2 (AD + BC) x BH. Теорема доведена.

г) Розрахунок площі несиметричного п'ятикутника методом побудови рівновеликого трикутника (рис.3.6).

Дано довільний 5кутник .

Рис.3.6 Перебудова п’ятикутника в равновеликий трикутник

Перебудовуємо його в рівновеликий трикутник :

1.Будуємо діагональ AC, з'єднуючи точки A й C усередині багатокутника

2.Продовжуємо по стороні AE пряму FK

3.Через точку B будуємо пряму BF, що паралельна діагоналі AC.

4.Із точки C в точку F перетинання прямих BF і FK проводимо відрізок CF

5.Оскільки й побудовані між паралельними прямими й мають загальну основу , то

їхні висоти однакові й дорівнюють відстані по перпендикуляру між паралельними прямими;

площі цих трикутників рівні, оскільки розраховуються як половина добутку висоти трикутника на його основу.

6.Через точки С й Eпроводимо другу діагональ п'ятикутника.

7.Через точку D будуємо пряму DK паралельну другій діагоналі СE

8. Із точки C проводимо відрізок CK у точку K перетинання прямих DK і FK.

9.Трикутник CED і побудований трикутник CEK розташовані між паралельними прямими CE й DK мають загальну основу CE – рівновеликі , тобто мають рівну площу.

Страницы: 1 2 3 4

Нове про педагогіку:

Лексичне і граматичне значення слова
Кожне слово має свій звуковий склад, який становить його звукову форму. Звуковий склад слова зв'язаний з певним значенням. Таким чином, слово має певний зміст, певне значення. Значення слова співвідн ...

Види дистанційного навчання
Зі стрімким розвитком Явища освіти виникла необхідність дистанціювати викладача та навчаючого,для того аби проявились інтерес та самостійність індивіда до пізнання нового. Так з'явилась дистанційна ф ...

Навігація по сайту

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.ipedahohika.com