Роль логічних доведень геометричних тверджень

Сторінка 3

3. Означеннях прямокутника, трикутника, паралелограма й трапеції

Приведемо означення прямокутника, трикутника, паралелограма й трапеції.

Означення. Параллелограм це чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні й паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.

Означення.Прямокутник це параллелограм, у якого всі кути прямі.

Означення.Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони називаються основагиями трапеції. Дві інші сторони називаються бічними сторонами.

Означення.Трикутником називається фігура . яка складається із трьох крапок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків , попарно з'єднуючі ці точки. Точки називаються вершинами трикутника , а відрізки сторонами.

4. Про площу прямокутника

Теорема. Площа прямокутника зі сторонами дорівнює

На підставі вищевикладених аксіом і теорем, доведемо теореми про площі елементарних багатокутників методом рівновеликих і рівноскладених елементів багатокутників.

а) Площа паралелограма

Теорема. Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту.

Довести: SABCD=AD x BH

Доведення

1. Перекроїмо паралелограм у прямокутник. Для цього розріжемо його по висоті BH , і трикутник ABH прикладемо праворуч як показано на рис.3.3. Одержимо прямокутник HBCH1 , рівноскладений з паралелограмом ABCD. Але рівноскладені фігури є рівновеликими, тобто SHBCH1=SABCD .

2. SHBCH1=BC x BH. Але BC=AD по властивості паралелограма.

Тоді SABCD=AD x BH. Теорема доведена.

Рис.3.3 Дано: ABCDПаралелограм, ADпідстава, BHВисота

б) Площа трикутника

Теорема. Площа трикутника дорівнює половині добутку основи на висоту.

Рис.3.4. Дано: ABCТрикутник, AC основа, BH висота

Довести: SABC = ? AC x BH

Доведення

Перекроїмо трикутник у паралелограм. Для цього проведемо середню лінію MN і розріжемо трикутник ABC на дві частини. Трикутник MNC прикладемо до відрізка BM як показано на рис.3.4. Одержимо паралелограм ABDN, рівноскладений із трикутника ABC, а отже й рівновеликий. Тоді SABDN=SABC

SABDH=AN x BH. Але AH=1/2 AC

тому що NСередина AC.

Отже SABC=1/2 AC x BH. Теорема доведена.

в) Площа трапеції

Теорема. Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту.

Рис.3.5 Дано: ABCDТрапеція, AD і BC основи, BHВисота

Довести: SABCD=1/2 (AD + BC) x BH

Доведення

Перекроїмо трапецію в трикутник. Для цього розріжемо її по відрізку BM, де M середина сторони CD.Трикутник BCM прикладемо до відрізка MD як показано на рис.3.5. Одержимо трикутник ABN рівноскладений із трапецією ABCD, а отже й рівновеликий , тобто SABN=SABCD

SABN=1/2 AN x BH, (3.1)

Але AN =AD + DN, а DN = BC.

Звідки AN=AD + BC.

Підставимо в (3.1), одержимо SABCD=1/2 (AD + BC) x BH. Теорема доведена.

г) Розрахунок площі несиметричного п'ятикутника методом побудови рівновеликого трикутника (рис.3.6).

Дано довільний 5кутник .

Рис.3.6 Перебудова п’ятикутника в равновеликий трикутник

Перебудовуємо його в рівновеликий трикутник :

1.Будуємо діагональ AC, з'єднуючи точки A й C усередині багатокутника

2.Продовжуємо по стороні AE пряму FK

3.Через точку B будуємо пряму BF, що паралельна діагоналі AC.

4.Із точки C в точку F перетинання прямих BF і FK проводимо відрізок CF

5.Оскільки й побудовані між паралельними прямими й мають загальну основу , то

їхні висоти однакові й дорівнюють відстані по перпендикуляру між паралельними прямими;

площі цих трикутників рівні, оскільки розраховуються як половина добутку висоти трикутника на його основу.

6.Через точки С й Eпроводимо другу діагональ п'ятикутника.

7.Через точку D будуємо пряму DK паралельну другій діагоналі СE

8. Із точки C проводимо відрізок CK у точку K перетинання прямих DK і FK.

9.Трикутник CED і побудований трикутник CEK розташовані між паралельними прямими CE й DK мають загальну основу CE – рівновеликі , тобто мають рівну площу.

Страницы: 1 2 3 4

Нове про педагогіку:

Завдання змісту ознайомлення дітей дошкільного віку з величиною предметів
Чому необхідно знайомити дітей з порівнянням величини предметів? Існує думка, що діти приходять до школи з готовими поняттями про величину предметів. На практиці виходить зовсім інша картина. Перш ні ...

Засоби та етапи формування інтересу в учнів
Властивостями людини, що становлять суб'єктивний чинник інтересу, є її потреби. Це не що інше, як закладена в нас природою І суспільством програма життєдіяльності, це ставлення людини до природи, до ...

Навігація по сайту

Copyright © 2018 - All Rights Reserved - www.ipedahohika.com