Інтегруючи обидві частини цього рівняння, одержимо співвідношення, яке зв'язує розв'язок у, незалежну змінну х і довільну сталу С, тобто одержимо загальний інтеграл рівняння
.
Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння
.
Розв'язок. ,
,
.
3. Диференціальні рівняння із змінними, які відокремлюються.
Означення 9. Диференціальні рівняння, у яких змінні можна відокремити за допомогою множення або ділення обох частин рівняння на той самий вираз, називаються диференціальними рівняннями із змінними, які відокремлюються.
Це рівняння виду
.
Воно може бути приведене до рівняння із відокремленими змінними шляхом ділення обох його частин на вираз :
, або
.
Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння
.
Розв'язок. Відокремлюючи змінні, знаходимо:
,
.
Інтегруючи, отримаємо: або
.
Останнє співвідношення є загальний інтеграл даного рівняння.
Приклад. Розв'язати задачу Коші
,
.
Розв'язок. Відокремлюючи змінні, знаходимо:
.
Інтегруючи, отримаємо: ,
.
Одержали загальний інтеграл вихідного рівняння.
Розв'язавши останнє рівняння відносно у, знайдемо загальний розв'язок вихідного рівняння
,
,
.
Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє початковій умові .
,
,
,
.
- розв'язок задачі Коші.
Лекція 3
Тема: «Однорідні рівняння першого порядку»
Мета:
вивчення основних положень та визначень з теми «Однорідні диференціальні рівняння першого порядку»;
ознайомлення із методами розв'язування однорідних рівнянь першого порядку;
поглиблення, розширення знань, отриманих раніше при вивченні диференціальних рівнянь, для розв'язування однорідних рівнянь;
розвиток наукового мислення та пам’яті;
виховання математичної культури.
При вивченні теми студенти повинні:
знати: означення та види однорідних рівнянь першого порядку, означення однорідної функції;
уміти: визначати однорідне рівняння першого порядку з переліку рівнянь, знаходити загальний та частинний розв'язок однорідного рівняння;
здатні: використовувати алгоритм розв'язування однорідних рівнянь першого порядку.
Основні поняття: однорідна функція, однорідне рівняння першого порядку.
Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), креслярські матеріали, мультимедійний проектор, комп’ютер.
Час: 2 год.
Нове про педагогіку:
Наочно-образне мислення в навчальній діяльності першокласників
Мислення молодшого школяра носить наочно-образний характер. Наочність мислення проявляється в тому, що цю чи іншу мислительну операцію учень може виконати тоді, коли за словами приховані конкретні пр ...
Педагогічні аспекти народної педагогіки В.О. Сухомлинського в сучасній
школі
Проблеми народної педагогіки займали одне з центральних місць у педагогічній діяльності нашого співвітчизника В.О. Сухомлинського. Він неодноразово підкреслював необхідність наукового вивчення народн ...