Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

Сторінка 4

Означення 6. Розв’язком диференціального рівняння (1) називається разів диференційована функція в інтервалі , яка, будучи підставленою в це рівняння, перетворює його в інтервалі в тотожність

.

Наприклад, функція є розв’язком рівняння

оскільки для всіх вона перетворює це рівняння в тотожність.

Справді, знайшовши похідні і підставивши функцію її похідні в рівняння, дістанемо тотожність

,

правильну для .

Розв’язати диференціальне рівняння – означає знайти всі його розв'язки. Ці розв'язки найчастіше приводять до обчислення невизначених інтегралів. Тому операція знаходження розв’язків диференціального рівняння називається інтегруванням цього рівняння. Задача інтегрування диференціального рівняння вважається розв’язаною, якщо цю задачу звести до більш простої і вже вивченої в курсі інтегрального числення задачі обчислення невизначених інтегралів.

Приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.

Задача 1. Знайти криві, які мають ту властивість, що відрізок дотичної (проведеної в будь-якій її точці), який міститься між осями координат, ділиться точкою дотику навпіл.

Розв’язання. Нехай - довільна точка шуканої кривої (мал. 1). Тоді . Оскільки , то маємо співвідношення

(2)

Мал. 1 Мал. 2

яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідну , тобто дістали звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Переписавши (2) у вигляді , а це останнє – у вигляді , маємо рівність . Звідси , і, отже,

,(3)

де . Шукані криві (3) є сім'єю гіпербол, для яких осі координат виконають роль асимптот.

Задача 2. Відомо, що швидкість розпаду радію пропорційна наявній його кількості.

Знайти закон, який виражає зміну кількості радію протягом часу, якщо відомо, що через 1600 років залишиться половина кількості радію.

Розв’язання. Нехай - кількість радію в момент часу (час у роках). Оскільки швидкість зміни є похідною від за часом , то, згідно з умовою задачі,

. (4)

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Нове про педагогіку:

Історичні відомості про числа та цифри, стадії розвитку лічби
Найстародавнішою математичною діяльністю був рахунок. Рахунок був необхідний, щоб стежити за поголів'ям худоби і вести торгівлю. Деякі первісні племена підраховували кількість предметів, зіставляючи ...

Зміст і завдання трудового виховання учнів початкових класів
Людина розвивається духовно й фізично тільки в праці. Без праці вона деградує. Будь-які спроби уникнути продуктивної праці зумовлюють негаразди для особистості і суспільства. Праця є джерелом і важли ...

Навігація по сайту

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.ipedahohika.com