уміти: визначати диференціальне рівняння з переліку рівнянь, складати рівняння за умовою задачі, що приводить до диференціального рівняння;
здатні: знаходити невизначений інтеграл (з курсу математичного аналізу).
Основні поняття: диференціальне рівняння (ДР), звичайне ДР, ДР у частинних похідних, порядок ДР, степінь, розв'язок.
Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), креслярські матеріали, мультимедійний проектор, комп’ютер.
Час: 2 год.
План лекції
Поняття диференціального рівняння і його розв'язку.
Приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.
Список літератури
Еругин Р.П. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений.
Pudy A.E., Rakov S.A. Mathematical Analysis. Differential Equations.
Текст лекції
1.Поняття диференціального рівняння і його розв'язку.
В диференціальному численні за заданою функцією одного чи більшого числа змінних вивчались властивості цієї функції (монотонність, випуклість і ін.). Однак більшість задач практичного застосування мають характер обернених: треба знайти функцію, яка б мала наперед задані властивості.
При вивченні фізичних явищ часто не вдається безпосередньо знайти закон, який зв’язує розглядувані величини, але в той же час порівняно легко встановлюється залежність між тими ж величинами і їх похідними або диференціалами.
І ті і другі задачі приводять до рівнянь, що містять невідомі функції під знаками похідних і диференціалів.
Означення 1. Рівняння, в яких невідома функція входить під знаком похідної або диференціала, називаються диференціальними рівняннями. Наприклад, диференціальними рівняннями є такі:
Означення 2. Якщо в диференціальному рівнянні невідома функція є функцією однієї незалежної змінної, то таке диференціальне рівняння називається звичайним.
У загальному випадку його можна записати у вигляді
(1)
де - незалежна змінна,
- функція від
, яка підлягає визначенню,
- її похідні.
Означення 3. Якщо невідома функція, яка входить у диференціальне рівняння, є функцією двох і більшого числа незалежних змінних, то таке диференціальне рівняння називається рівнянням у частинних похідних.
Рівняння 1), 2) і 4) є звичайними диференціальними рівняннями, а 3) – рівняння в частинних похідних.
Означення 4. Порядком диференціального рівняння називається максимальний порядок похідної (або диференціала), що входить у нього.
Рівняння 1) і 4) є рівняннями першого порядку. Рівняння (1) – звичайне диференціальне рівняння ого порядку.
Означення 5. Якщо ліва частина рівняння (1) є многочленом відносно похідної максимального порядку від невідомої функції, то степінь цього многочлена називається степенем даного диференціального рівняння. Наприклад, рівняння
п’ятого степеня другого порядку, а рівняння
другого степеня третього порядку.
У диференціальному рівнянню (1) ого порядку незалежна змінна
, шукана функція
і її похідні до
ого порядку включно в явному вигляді можуть бути, але можуть окремо або всі разом бути відсутніми. Наявність же в явному вигляді похідної
ого порядку необхідна, щоб це рівняння було диференціальним. Наприклад,
є диференціальним рівнянням третього порядку, хоча в ньому в явному вигляді й відсутні
і
.
Нове про педагогіку:
Загальні питання підготовки і проведення експериментального дослідження
На першому етапі був проведений констатувальний експеримент з метою з’ясування ефективності впровадження курсу «етика діяльності соціального педагога» у формуванні професійної етики соціального педаг ...
Методика обстеження
сформованості лексико-граматичної сторони мовлення у дітей із ЗНМ старшого
дошкільного віку
Правильно організоване корекційне навчання і виховання дітей дошкільного віку в умовах логопедичної групи потребує обстеження мовних та немовних процесів, сенсомоторної сфери, інтелектуальнго розвитк ...