Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

Сторінка 15

.

Розглянемо питання про еквівалентність рівнянь (1) і (1’). Якщо є інтегруючий множник рівняння (1), то рівняння

(7)

є рівнянням в повних диференціалах, тобто існує функція , повний диференціал якої дорівнює лівій частині цього рівняння:

. (8)

Загальний інтеграл рівняння (7) має вигляд

.

З (8) дістанемо

(9)

і, отже, ліва частина (9) може перетворитись у нуль не тільки при , але й при . (10)

Якщо рівняння (10) задає як деяку функцію від або як деяку функцію від , то вона є розв’язком рівняння

(11)

що не міститься в загальному інтегралі рівняння (7).

Крім того, якщо рівняння

(12)

задає деяку функцію або , то з (7), видно, що ця функція ввійде в загальний інтеграл рівняння (5), однак може виявитись побічним розв’язком рівняння (11).

Таким чином, щоб дістати загальний інтеграл рівняння (11), треба взяти загальний інтеграл рівняння (7) і з нього вилучити ті розв'язки рівняння (12), які не є розв'язками рівняння (11), і додати ті розв'язки рівняння (10), які не є розв'язками рівняння (7).

Приклад 1. Розв’язати рівняння

(13)

Розв’язання. Тут Функції і неперервні в усій площині , однак умова не виконана і, отже, рівняння (13) не є рівнянням у повних диференціалах. Вираз (4) не залежить від і являє собою неперервну функцію від . Тому інтегруючий множник визначається за формулою (5)

.

Помноживши на цей множник праву і ліву частини рівняння (13), дістанемо рівняння в повних диференціалах

Функцію , повний диференціал якої дорівнює лівій частині останнього рівняння, знаходимо з рівнянь

З першого рівняння маємо

Звідси і з другого рівняння знаходимо

Страницы: 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Нове про педагогіку:

Напрямки соціально–педагогічної допомоги проблемним сім’ям
Одним з основних об’єктів соціальної роботи виступають молода сім’я та сім’ї, які мають проблеми у сімейному вихованні, сім’ї, які за особливостями своєї життєдіяльності потребують соціальної підтрим ...

Інноваційні технології реалізації навчально-виховного процесу
Конструювання навчального процесу в сучасній педагогічній літературі розглядається з двох сторін: навчання через інформацію і навчання через діяльність. Особливу роль у контекстному навчанні грають а ...

Навігація по сайту

Copyright © 2018 - All Rights Reserved - www.ipedahohika.com