Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

Сторінка 14

В цьому разі виникає питання, чи не можна підібрати функцію так, щоб після множення на неї рівняння (1) дістали рівняння

(1’)

в повних диференціалах. Така функція називається інтегруючим множником диференціального рівняння (1).

Щоб функція , неперервна в однов’язній області разом зі своїми частинними похідними і , була інтегруючим множником рівняння (1), необхідно і достатньо, щоб для всіх точок виконувалась рівність

,

тобто

. (2)

Рівність (2) містить невідому функцію під знаком частинних похідних, тобто (2) є диференціальне рівняння в частинних похідних. Його розв’язання є задачею складнішою, ніж розв’язання рівняння (1). Однак задача по знаходженню інтегруючого множника значно спрощується, коли відомо, що він залежить від однієї незамкненої змінної або .

Припустимо, що рівняння (1) має інтегруючий множник, залежний тільки від . В цьому разі рівняння (2) набере вигляду

,

або ,

звідки . (3)

Оскільки є функцією однієї незалежної змінної , то вираз

(4)

не повинен залежати від . Позначивши його через і припускаючи, що - неперервна функція в інтервалі , з (3) дістанемо

і, таким чином,

, де . (5)

Покажемо, що коли вираз (4) справді не залежить від і є неперервною функцією від на інтервалі , то функція , задана рівністю (5), є інтегруючим множником рівняння (1).

Справді, для цього достатньо переконатись у справедливості рівності

(6)

для всіх точок . Маємо

,

,

тобто рівність (6) дійсно виконується в області .

В аналогічній спосіб можна показати, що коли вираз

не залежить від і є неперервною в інтервалі , то рівняння (1) має інтегруючий множник, незалежний від , який знаходиться за формулою

Страницы: 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Нове про педагогіку:

Використання самостійної роботи як контролюючої функції
Учителям початкових класів добре відома ситуація, коли та чи інша дитина, виконуючи самостійну роботу, не може впоратися навіть з елементарними завданнями через розгубленість, нерішучість, невпевнені ...

Значення рухливих ігор для всебічного розвитку дітей дошкільного віку
Гра - одна з основних форм діяльності людини, особливо важливе місце вона займає у житті дитини. Однією з цих особливостей ігрової діяльності є її відносна незалежність від практичних потреб життя. Г ...

Навігація по сайту

Copyright © 2018 - All Rights Reserved - www.ipedahohika.com