В цьому разі виникає питання, чи не можна підібрати функцію так, щоб після множення на неї рівняння (1) дістали рівняння
(1’)
в повних диференціалах. Така функція називається інтегруючим множником диференціального рівняння (1).
Щоб функція , неперервна в однов’язній області
разом зі своїми частинними похідними
і
, була інтегруючим множником рівняння (1), необхідно і достатньо, щоб для всіх точок
виконувалась рівність
,
тобто
. (2)
Рівність (2) містить невідому функцію під знаком частинних похідних, тобто (2) є диференціальне рівняння в частинних похідних. Його розв’язання є задачею складнішою, ніж розв’язання рівняння (1). Однак задача по знаходженню інтегруючого множника значно спрощується, коли відомо, що він залежить від однієї незамкненої змінної
або
.
Припустимо, що рівняння (1) має інтегруючий множник, залежний тільки від . В цьому разі рівняння (2) набере вигляду
,
або ,
звідки . (3)
Оскільки є функцією однієї незалежної змінної
, то вираз
(4)
не повинен залежати від . Позначивши його через
і припускаючи, що
- неперервна функція в інтервалі
, з (3) дістанемо
і, таким чином,
, де
. (5)
Покажемо, що коли вираз (4) справді не залежить від і є неперервною функцією від
на інтервалі
, то функція
, задана рівністю (5), є інтегруючим множником рівняння (1).
Справді, для цього достатньо переконатись у справедливості рівності
(6)
для всіх точок . Маємо
,
,
тобто рівність (6) дійсно виконується в області .
В аналогічній спосіб можна показати, що коли вираз
не залежить від і є неперервною в інтервалі
, то рівняння (1) має інтегруючий множник, незалежний від
, який знаходиться за формулою
Нове про педагогіку:
Взаємозв’язок виховного процесу батьків та логопеда
Робота логопеда з родиною , що виховує дитину з порушенням мовленнєвого розвитку, має на меті надати кваліфіковану підтримку батькам; допомогти близьким дорослим створити комфортне сімейне середовище ...
Політичні передумови розвитку освіти на Поділлі в рамках загальноімперської
системи освіти
Розглядаючи політичні передумови розвитку освіти на Поділлі в другій половині XIX - на початку XX ст., потрібно відштовхуватись від того, про яку освіту буде йти мова - національну систему освіти чи ...