.
Необхідною і достатньою умовою повного диференціала є рівність частинних похідних .
Загальний інтеграл рівняння в повних диференціалах має вигляд ,
Де функція може бути знайдена за однією із формул:
Приклад 1. Вказати рівняння в повних диференціалах:
а)
10. Диференціальне рівняння записано в симетричній формі, де
,
20. Знайдемо частинні похідні:
,
.
30. Порівняємо частинні похідні. Так як , то рівняння є рівнянням в повних диференціалах.
б)
10. Диференціальне рівняння записано в симетричній формі, де
,
20. Знайдемо частинні похідні:
,
.
30. Порівняємо частинні похідні. Так як , то рівняння є рівнянням в повних диференціалах.
Приклад 2. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння
.
10. Визначаємо тип рівняння (таблиця 1):
Запишемо рівняння в симетричній формі
,
,
,
тоді
,
1.2. Знайдемо частинні похідні:
,
.
1.3. Порівняємо частинні похідні. Так як , то рівняння є рівнянням в повних диференціалах.
20. Запишемо формулу загального інтеграла:
30. Виберемо формулу для відшукання функції :
40. Знайдемо функцію :
50. Запишемо загальний інтеграл рівняння:
Приклад 3. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння
Відповідь:
Приклад 4. Серед рівнянь вказати те, яке є одночасно однорідним і в повних диференціалах:
а)
б)
в)
2. Інтегруючий множник
Нехай функції неперервні в області
вигляду
. Якщо для рівняння
(1)
умова не виконується в області
, то це рівняння не буде рівнянням у повних диференціалах у цій області.
Нове про педагогіку:
Художня специфіка літератури бароко
Бароко (від італ. "barоссо", фр. "baroque" - "дивний, неправильний") - літературний стиль у Європі кінця XVI, XVII й частини XVIII ст. Термін "бароко" перейшов ...
Особливості домашньої роботи молодших школярів
Працюючи над домашнім завданням, школяр продовжує навчатися, тому тут, як і в процесі засвоєння знань на уроці, необхідно забезпечувати додержання основних дидактичних принципів: активності і самості ...